Persamaan Kuadrat: Pengertian, Rumus, Cara Penyelesaian, dan Contoh Soal – Matematika Kelas 9 SMP

Belajar Persamaan Kuadrat: Cara & Soal Matematika Kelas 9

Persamaan kuadrat adalah salah satu materi utama dalam matematika kelas 9 SMP yang wajib kamu kuasai. Topik ini tidak hanya sering muncul di ujian, tetapi juga punya aplikasi nyata dalam kehidupan, seperti menghitung lintasan bola atau luas maksimum suatu bidang. Dalam artikel ini, kita akan membahas pengertian persamaan kuadrat, rumus yang digunakan, berbagai cara penyelesaian, serta contoh soal lengkap dengan pembahasan. Dengan panduan ini, kamu akan lebih percaya diri menghadapi soal-soal persamaan kuadrat. Yuk, simak sampai selesai!

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika dengan variabel berpangkat tertinggi dua. Bentuk umumnya ditulis sebagai ax² + bx + c = 0, di mana:

a: koefisien x² (tidak boleh nol, karena jika a = 0, persamaan jadi linear).
b: koefisien x.
c: konstanta.

Contoh persamaan kuadrat:

x² + 5x + 6 = 0
2x² – 3x + 1 = 0
-x² + 4 = 0

Solusi dari persamaan ini disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai x yang membuat persamaan bernilai nol. Di kelas 9 SMP, kamu akan belajar menemukan akar-akar ini dengan beberapa metode yang akan kita bahas nanti.

Karakteristik Persamaan Kuadrat

Sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, penting untuk memahami karakteristiknya:

Akar-Akar Persamaan
- Persamaan kuadrat bisa memiliki dua akar, satu akar, atau tidak ada akar real, tergantung pada nilai diskriminan.
Diskriminan (D)
- Rumus: D = b² – 4ac.
- Makna:
  - D > 0: Dua akar real berbeda.
  - D = 0: Satu akar real (kembar).
  - D < 0: Tidak ada akar real (akar imajiner).
Grafik Parabola
- Persamaan kuadrat digambarkan sebagai parabola pada koordinat Kartesius.
- Jika a > 0, parabola membuka ke atas.
- Jika a < 0, parabola membuka ke bawah.

Memahami karakteristik ini membantu kamu memprediksi solusi sebelum menghitung.

Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus ABC (juga disebut rumus kuadrat):

x = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)

-b: lawan dari koefisien x.
√(b² – 4ac): akar diskriminan.
2a: dua kali koefisien x².

Selain itu, ada hubungan akar-akar:

Jumlah akar: x₁ + x₂ = -b/a.
Hasil kali akar: x₁ × x₂ = c/a.

Rumus ini sangat powerful karena bisa digunakan untuk semua jenis persamaan kuadrat, apa pun nilai a, b, dan c-nya.

Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Ada tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Berikut penjelasan dan langkah-langkahnya:

1. Pemfaktoran

Metode ini mengubah persamaan menjadi bentuk faktor lalu menyelesaikannya.

Langkah-Langkah:

Ubah persamaan ke bentuk ax² + bx + c = 0.
Cari dua bilangan yang jika dikalikan sama dengan a × c dan dijumlahkan sama dengan b.
Tulis dalam bentuk faktor (px + q)(rx + s) = 0.
Equalkan setiap faktor dengan nol, lalu selesaikan.

2. Melengkapkan Kuadrat

Metode ini mengubah persamaan menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Langkah-Langkah:

Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
Bagi semua suku dengan koefisien x² jika ≠ 1.
Tambahkan (b/2)² ke kedua ruas untuk melengkapkan kuadrat.
Selesaikan dengan akar kuadrat.

3. Rumus ABC

Metode ini langsung menggunakan rumus kuadrat.

Langkah-Langkah:

Identifikasi nilai a, b, dan c.
Hitung diskriminan: D = b² – 4ac.
Masukkan ke rumus: x = [-b ± √D] / (2a).
Sederhanakan hasilnya.

Pilih metode sesuai soal: pemfaktoran untuk yang mudah difaktor, melengkapkan kuadrat untuk bentuk tertentu, dan rumus ABC untuk yang kompleks.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah contoh soal persamaan kuadrat dengan berbagai metode penyelesaian:

Contoh Soal 1: Pemfaktoran

Selesaikan x² + 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Cari dua bilangan: 2 × 3 = 6, 2 + 3 = 5.
Faktorkan: (x + 2)(x + 3) = 0.
Equalkan: x + 2 = 0 → x = -2; x + 3 = 0 → x = -3.
Akar: x = -2 atau x = -3.

Contoh Soal 2: Melengkapkan Kuadrat

Selesaikan x² – 6x + 5 = 0.

Penyelesaian:

Pindahkan 5: x² – 6x = -5.
Lengkapkan kuadrat: Tambah (-6/2)² = 9 ke kedua ruas → x² – 6x + 9 = -5 + 9.
Sederhanakan: (x – 3)² = 4.
Akar kuadrat: x – 3 = ±2 → x – 3 = 2 atau x – 3 = -2.
Selesaikan: x = 5 atau x = 1.
Akar: x = 5 atau x = 1.

Contoh Soal 3: Rumus ABC (D > 0)

Selesaikan 2x² + 3x – 2 = 0.

Penyelesaian:

a = 2, b = 3, c = -2.
Diskriminan: D = 3² – 4 × 2 × (-2) = 9 + 16 = 25.
Rumus: x = [-3 ± √25] / (2 × 2) = [-3 ± 5] / 4.
x₁ = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = ½.
x₂ = (-3 – 5) / 4 = -8 / 4 = -2.
Akar: x = ½ atau x = -2.

Contoh Soal 4: Rumus ABC (D = 0)

Selesaikan x² – 4x + 4 = 0.

Penyelesaian:

a = 1, b = -4, c = 4.
Diskriminan: D = (-4)² – 4 × 1 × 4 = 16 – 16 = 0.
Rumus: x = [-(-4) ± √0] / (2 × 1) = [4 ± 0] / 2 = 4 / 2 = 2.
Akar: x = 2 (akar kembar).

Contoh Soal 5: Rumus ABC (D < 0)

Selesaikan x² + 2x + 5 = 0.

Penyelesaian:

a = 1, b = 2, c = 5.
Diskriminan: D = 2² – 4 × 1 × 5 = 4 – 20 = -16.
Karena D < 0, tidak ada akar real.

Contoh Soal 6: Aplikasi Kehidupan Nyata

Sebuah bola dilempar dengan persamaan ketinggian h(t) = -5t² + 20t. Kapan bola menyentuh tanah (h = 0)?

Penyelesaian:

Persamaan: -5t² + 20t = 0.
Faktorkan: -5t (t – 4) = 0.
Equalkan: -5t = 0 → t = 0; t – 4 = 0 → t = 4.
Makna: Bola menyentuh tanah pada t = 0 (awal) dan t = 4 detik.

Contoh Soal 7: Pemfaktoran Kompleks

Selesaikan 3x² – 7x – 6 = 0.

Penyelesaian:

Cari bilangan: 3 × (-6) = -18, bilangan yang jumlahnya -7 adalah -9 dan 2.
Faktorkan: (3x + 2)(x – 3) = 0.
Equalkan: 3x + 2 = 0 → x = -2/3; x – 3 = 0 → x = 3.
Akar: x = -2/3 atau x = 3.

Tips Belajar Persamaan Kuadrat

Agar mahir menyelesaikan persamaan kuadrat, ikuti tips berikut:

Hafal Rumus ABC: Ini adalah senjata utama untuk semua kasus.
Latihan Beragam Soal: Coba pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, dan rumus ABC.
Pahami Diskriminan: Prediksi jenis akar sebelum menghitung.
Gunakan Grafik: Gambar parabola untuk memahami akar secara visual.
Cek Jawaban: Substitusi akar ke persamaan awal untuk verifikasi.